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1、 第 1 页，共 12 页 2025-2026 学年山东省青岛第九中学高二上学期学年山东省青岛第九中学高二上学期 10 月质量检测月质量检测 数学试卷数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过(2,+3),(1,22)两点的直线的倾斜角为135，则的值为()A.1或2 B.2 C.1 D.2 2.已知空间向量 =(1,2,2)，=(,1,3)，且 在 上的投影向量为3 ，则的值为()A.13 B.23 C.5 D.27 3.若 ,是空间的一个基底，且向量 =+，则(,)叫向量 在基底 ,下的坐标，已知 ,是空间的

2、一个基底，+,是空间的另一个基底，一个向量 在基底 ,下的坐标为(4,2,3)，则向量 在基底 +,下的坐标是()A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)4.在三棱锥 中，若 ，=1，则 =()A.12 B.1 C.3 D.0 5.已知实数,满足=13=43，则()2+()2的最小值为()A.12125 B.8125 C.6425 D.4925 6.已知点(,)为直线+2 4=0上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是()A.的最小值为2 B.+的最小值为2 C.2+2的最小值为165 D.+的最小值为 2 7.在等腰直角 中，=3，点是边上异于端点的一点，光

3、线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过 的重心，则 的周长等于()A.2 5 B.2 7 C.3 2 D.4 2 第 2 页，共 12 页 8.在平面直角坐标系中，定义：=(|1 2|+|1 2|)1，其中(1,1)，(2,2).若,，且 B.C.D.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.过点(2,1)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 第 3 页，共 12 页 13.如图，二面角 的棱上有两个点,，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角 的平面角为3，且=4，=6,=5，则=14.已知球的表面积为16，正四面体的顶点,均在球的表

4、面上，球心为 的外心，棱与球面交于点.若 平面1,平面2,平面3,平面4,/+1(=1,2,3)且与+1(=1,2,3)之间的距离为同一定值，棱,分别与2交于点,，则cos的值为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在三棱锥 中，平面，=90，,分别是棱，的中点，=1，=2 (1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离 16.(本小题15分)已知 的三个顶点的坐标为(2,3)、(1,2)、(8,1)(1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程；(2)求的平分线所在直线的一般式方程；17.(本小题15分)如图，

5、在多面体中，都是边长为2的等边三角形，平面 平面，平面 平面 第 4 页，共 12 页 (1)判断，四点是否共面，并说明理由；(2)在 中，试在边的中线上确定一点，使得 平面，并求 18.(本小题17分)如图，点是边长为2的等边 内部(不包括边)任意一点，绕点逆时针旋转3得到 (1)若=32,=6，求；(2)若=27 21,=23，求 的周长；(3)求 面积最大值 19.(本小题17分)如图，正四棱锥 中，是棱的中点，是底面的中心过作平面与棱,分别交于不同的点,(可以是端点)(1)求证：,三线交于一点；(2)若=2,=11()求直线与平面所成角的正弦值；()求多面体的体积的取值范围 第 5 页

6、，共 12 页 参考参考答案答案 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.2=0或 1=0 13.47 14.57 15.解：(1)依题意：以为坐标原点，,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，又,分别是棱，的中点，=1，=2 所以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(12,0,0),(12,12,0),(0,12,1)，所以有：=(0,0,2),=(12,12,1),=(0,12,0)，设平面的法向量为 =(,)，则有 ,.所以 =12+12+=0 =12=0 =2=0，令=1，有 =(2,0,1)，设直线与平面所成角为，则sin=|=|22 5|=55 所以直线与平面所成角的正弦值为 55 第 6 页，共 12 页 (2)因为=(12,0,2)，由(1)有平面的一个法向量为 =(2,0,1)，所以点到平面的距离为：=|=|1+2|5=55 16.解：(1)易知的中点为(32,12)，=5，边的垂直平分线的斜率为15，所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：+5 4=0，则截距式方程为4+45=1(2)因为=(1,5)，=(10,2)

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