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1、第 1页，共 12页吉林省吉林市普通高中吉林省吉林市普通高中 2025 届高三下学期第四次模拟测试届高三下学期第四次模拟测试数学试卷数学试卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题:R，|0，命题:0，3=，则()A.和都是真命题B.和都是真命题C.和都是真命题D.和都是真命题2.已知复数=2 1+(+1)i 为纯虚数，则实数的值为()A.1B.1C.1 或 1D.23.为了解教育改革制度出台后学生每周的段炼时长情况，从某市中小学抽取样本，经分析得到改革后学生每周的锻炼时长(单位：小时)近似服从正态分布 14,2，

2、若(0,0)绕坐标原点逆时针旋转3得到曲线=33+23()求双曲线的标准方程及离心率；()双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值第 5页，共 12页参考答案参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.3213.=22+114.8,8；1515/1151515.【详解】(1)法一；设点(,ln)，则点到直线的距离最短需满足()在点处的切线与平行()=ln，()=1，切线的斜率=1=1 =1(1,0)则点到直线:+2=0 的最短距离=|10+2|12+(1)2=322法二：设点(,ln)，点到直线:+2=0

3、的距离=|ln+2|12+(1)2=|ln+2|2设()=ln+2，(0,+)()=1 1=1令()=0，解得=1当变化时，()，()的变化情况如表所示第 6页，共 12页(0,1)1(1,+)()0+()单调递减3单调递增所以，当=1 时，()取得最小值所以点到直线:+2=0 的最短距离=32=3 22(2)()=(ln+)=ln+2，()=ln+1+2，()在 e2,1 单调递增 e2=2+1+2e2=2e2 1 0 0 e2,1，使0=0当 e2,0时，()0，()单调递增 e2=2e2+e4=12e2e4 0，(1)e2，()max=(1)=1，16.【详解】(1)方法一：/且=12

4、是中点，四边形是矩形，/且=12/，四边形是平行四边形，/又不在平面内，平面，/平面方法二：平面 平面，平面 平面=，平面，平面又 ，则以为原点，,所在直线分别为轴，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空闻直角坐标系，设=，=，则2+2=8第 7页，共 12页依题意得(0,0,0)，(0,0)，(,0,0)，(,0,2)，(0,2)，2,2,0，0,2,1?=2,0,1，平面的一个法向量为?=(0,1,0)，?=0又 平面，/平面法三：(1)平面 平面，平面 平面=，平面，平面以为原点，在平面内过点且与垂直的直线为轴，以所在直线为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

5、设=(0 )，依题意得(2sin,2cos,0)，(0,2,0)，(0,2,0)，(0,2,2)，(0,2,2)，(0,0,0)，取中点，连接，由题可得22sin,22cos 22,1，?=22sin,22cos 22,1，22sin,22cos+22,1，?=22sin,22cos 22,1?=?，/，又 平面.，平面.，/平面.(2)方法一：平面 平面，平面 平面=，平面，平面.又 平面，又 ，=，平面，平面，平面又 平面，即为平面与平面的夹角，=4又 ，=2，=2，=22又由(1)知为的中点，平面，平面，又 =，平面，平面，平面点到平面的距离为=12=2(注：此处亦可用等体积法求解.设点

6、到平面的距离为，由=得13 =13，第 8页，共 12页即1312 =1312 ，解得=2)方法二：平面的一个法向量为?1=(0,0,1)，?=(0,0)，?=(,0,2)，设平面的一个法向量为2?=(,)，则2?=0,2?=0.=0,+2=0.取2?=(2,0,)平面与平面的夹角为4，cos4=cos 1?,2?=1?2?1?2?=4+2=22，解得=2(2,0,0)，?=(2,0,0)，平面的一个法向量为2?=(2,0,2)点到平面的距离=?2?2?=42 2=2方法三：平面的一个法向量为?=(0,0,1)，?=(0,22,2)，?=(2sin,2cos+2,0)，设平面的一个法向量为?=(,)，则?=0,?=0.22+2=0,2sin +2(cos+1)=0.取?=(cos+1,sin,2sin)平面与平面的夹角为4，cos4=|cos|=|?|?|?|=|2sin|(cos+1)2+sin2+2sin2=22，解得 cos=0 或1 0 0，解得 0 14；令()0，解得14 0，1+2=823，12=423，因线段的中点为1232,12，=11+2 3，所以线段的垂直平分线为

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