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1、数学试题一、单选题（本题共 8小题，每题 5分，共 40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1已知全集，集合，则（）A B C D2设向量，则下列选项正确的是（）A B C D3已知平行直线 与 之间的距离为，则实数（）A 或 B 或 C 或 D 或4已知直线 截圆 所得的弦长为 4，则实数 的值是（）A B C D5设 是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A若，则；B若，则；C若，则，；D若，则；6设抛物线 的焦点为，不经过 的直线与 交于、两点，与 轴交于点，已知点 的坐标为，且 与 的面积之比是，则（）A1 B2 C3 D47近年来纯电动汽车越来越受
2、消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898 年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中 为 常数.为测算某蓄电池的 常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间；当放电电流 时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的 常数 大约为（）A1.25 B1.75 C2.25 D2.558.若，使得，则 的最小值为（）A B C D二、多选题（本题共 3 题，每题 6 分，共 18 分.全对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）9已知，则“”的充要条件是（）第 1 页 共 4 页A B C D10在棱长为 的正方体 中
3、，分别为 的中点，点 是正方体侧面 上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A异面直线 与 所成角的余弦值为B当点 为棱 的中点时，直线 与直线 平行C若保持，则点 在侧面 内运动路径的长度为D过直线 的平面截该正方体的内切球 所得截面圆的面积的最小值为11.平面内到定点、轴、轴的距离之和等于 4 的点的轨迹是如图所示的曲线，它由 4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设 是该曲线上一点，则下列说法正确的是（）AB当 都是整数时，称为格点，则 上有 2 个格点C 的最大值为D 在第一象限对应的双曲线的离心率为三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）12.已知，则 13欧
4、拉是 18 世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=14.已知 面积为 1，边 AC，AB 上的中线为 BD，CE，且，则边 AB 长度的最小值为 第 2 页 共 4 页四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（13 分）已知等差数列 满足.(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列 的前 项和.16（15 分）在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知.(1
5、)求角；(2)若 的面积，求边 的大小.17（15 分）如图，平行六面体 的所有棱长均相等，平面 平面，点，满足，.(1)求证：平面；(2)求直线 与平面 所成的角 的正弦值.第 3 页 共 4 页18（17 分）已知椭圆 过点，且与双曲线 有相同的焦点(1)求椭圆 的方程；(2)设 为 的上顶点，为左焦点，为 上的两点，点 关于 轴的对称点为，线段的中点为，若 为 的平分线，（i）求证：直线 过定点；（ii）求 的取值范围19（17 分）对于函数，若实数 满足，则称 为 的不动点已知，且的不动点的集合为 以 和 分别表示集合 中的最小元素和最大元素（1）若，求 的元素个数及；（2）当 恰有一
6、个元素时，的取值集合记为 求；若，数列 满足，集合 求证：第 4 页 共 4 页数学参考答案DBAADBCB8.B【详解】由，得，由，得，若，使得，则 的区间长度要不小于 的解集的区间长度，.故选：B9ABD 10ACD11.ACD【详解】由题意，则，整理得，当 时，有，则，当，则，当，则，结合题图知，A 对；由方程，显然 都在曲线上，至少有 4 个格点，B 错；要使 最大，则 必在第一象限，此时，所以，令，则，所以，故，所以，故 的最大值为，（注意，则 不成立），C 对；在第一象限对应的双曲线为，即，所以，是由 平移得到，而 轴为双曲线 的渐近线，则 为实轴，为虚轴，所以 对应的标准双曲线的渐近线为，即，故离心率，D 对.故选：ACD12 13 14【详解】取，依题意，第 1 页 共 6 页为 的重心，由，设，则，又，则，即，由余弦定理知，令，则，解得，而，则，因此，解得，所以 的最小值为.故答案为：15【详解】（1）设等差数列 的公差为，因为，则，即，解得，所以.则 数列 的通项公式为：（2）因为数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则，又因为，所以.设数列 的前 项和为，则
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