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1、 第 1 页 共 6 页 元三维高中 2023 级第二次诊断性考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1B 2A 3C 4D 5D 6A 7C 8B 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分 9BC 10BCD 11ABD 三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分 121；1365；14112 3 四、解答题：本题共 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19 小题 17分，共 77 分解答应写出文字说明、

2、证明过程或演算步骤 15解：（1）2ca，由正弦定理：sin2sinCA，1 分 又sincosCA，2sincosAA，2 分 1tan2A，又A是三角形的内角，3 分 2 5cossin5AC，6 分 2 5sin5C；7 分（2）由余弦定理：2222cosabcbcA，8 分 222542 5 25aaa，9 分 23850aa，11 分 1a 或53a 13 分 16（1）设等比数列na的公比为q，第 2 页 共 6 页 1053132SS，则10151(1)31(1)32aqaq，3 分 化简得531132q，解得12q ，5 分 1111()2nnnaa q；7 分（2）11()2

3、nna ，则1(1)211()132nnnaqSq，9 分 2nnSa，12111()2()322nn，11 分 11()25n，12 分 n 可以为全体正的偶数及大于等于 3 的奇数，n 的取值范围为|2n nn，N 15 分 17解：（1）()(21)e1xfxx，2 分(1)3e 1f，且(1)ef，3 分 所求切线方程为：e(3e 1)(1)yx，即：(3e 1)2e 1yx；5 分（2）(1)ef，所以()(1)f xf，则(1)f为()f x的最小值，也是()f x的极小值，7 分()e(21)xfxxa，8 分(1)3e0fa，即：3ea，9 分 下面验证：3ea 时，()f x

4、的最小值为 e 令()()e(21)3exg xfxx，令()e(23)0 xg xx，则32x ，9 分 3()2，x ，()0g x，()fx为减函数，且()0fx；第 3 页 共 6 页 3()2，x，()0g x，()fx为增函数，10 分 323()2e3e0f，11 分()fx必有唯一零点且等于 1，12 分(1)，x，()0fx，()f x为减函数；(1)，x，()0fx，()f x为增函数，14 分 3ea 时，()ef x 15 分 18解：（1）22 2b，则22b，又离心率 e=32，则2222234cabaa，解得：28a，椭圆的标准方程为：22182xy；4 分（2）

5、设00()P xy，11()A xy，(2 0)M ，则由5PMMA，且00(2)PMxy ，11(2)MAxy，5 分 010125(2)5xxyy，则01011255xxyy ，6 分 代入椭圆方程，可得：220012()()55182xy.7 分 又2200182xy.联立和可解得：0021xy，故 P(2，1)，A(14155，)，8 分 又 N(2，0)，则 B(2，1)，故直线 AB 的斜率16k ；9 分（3）设00()P xy，11()A xy，22()B xy，则002PAykx，第 4 页 共 6 页 故直线 PA：00(2)2yyxx 联立方程：2200182(2)2xy

6、yyxx 10 分 可得：2222220000000(444)1616832320 xyxxy xyxx，11 分 又220048xy，代入上式化简整理可得：2220000(3)4380 x xy xxx 由韦达定理：200010383xxx xx，解得：010383xxx，代入直线 PA：00(2)2yyxx，解得：0103yyx，故000038()33xyAxx，12 分 同理：直线 PB 斜率002PBykx，故直线 PB：00(2)2yyxx，联立方程：2200182(2)2xyyyxx 可得：2222220000000(444)1616832320 xyxxy xyxx，又220048xy，代入上式化简整理可得：2220000(3)4380 x xy xxx，13 分 由韦达定理：200020383xxx xx，解得：020833xxx，代入直线 PA：00(2)2yyxx，解得：0203yyx，故000083()33xyBxx，14 分 10202021()2()(00)2PMBSSMNyyyyyy，20101011()2()(00)2PNASSMNyyyyyy，所以000

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