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1、小题压轴题专练8椭圆（1）一、单选题1如图，椭圆的两焦点为F1，F2，长轴为A1A2，短轴为B1B2若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B2A2B1，切点分别为A，B，C，D，则菱形A1B2A2B1的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值为（）ABCD解：由题意可知菱形A1B2A2B1的面积S12ab，设矩形ABCD中，|BC|2n，|AB|2m，易知A1OB1和DF1O相似，则，又因为|OD|2c2m2+n2，可得m，n，所以矩形ABCD的面积，因为DOA1B1，可得abc且b2a2c2，即a43a2c2+c40，解得或者，ac，故选：D2如图，已知白纸上有一椭圆，它焦点为，长轴，短轴，是椭

2、圆上一点，将白纸沿直线折成角，则下列正确的是当在（或时，最大当在（或时，最小ABCD都不正确解：设翻折前椭圆方程为：，如图所示建立空间直角坐标系，根据对称性，不妨设，0，0，则，设，则，故函数单调递减，故当，即当 在 或 时， 最大，故 时，当 在 或 时， 最小故选：3已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为AB4CD解：已知，是椭圆上两个不同点，则，设，为坐标原点，则，且，、两点均在圆的圆上，且，为等边三角形且，根据点到直线的距离公式，知为、两点到直线的距离、之和设的中点为，到直线的距离，则，的最大值为，的最大值为，故选：4如图，是由直线引出的三个不重合的半平面，其中二面角大小为，在

3、二面角内绕直线旋转，圆在内，且圆在，内的射影分别为椭圆，记椭圆，的离心率分别为，则的取值范围是ABCD解：显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设，在平面内的投影为，在面内的投影为，设，则，则，所以，则，因为，所以，则，所以，即，故选：5已知椭圆内有一定点，过点的两条直线，分别与椭圆交于、和、两点，且满足，若变化时，直线的斜率总为，则椭圆的离心率为ABCD解：设，、，、，、，由，即，则，由，同理可得：，则，将点，的坐标代入椭圆方程作差可得：，由题意可得：，则，同理可得：，得：，则椭圆的离心率故选：

4、6已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为ABCD解：如图所示，设，不妨设，则，轴，设三角形内切圆的半径为由三角形内切圆的性质可得：解得，设，分别与内切圆相切于点，则在中，由勾股定理可得：，化为：与椭圆比较可得：，可得故选：7设直线，椭圆，将椭圆绕着其中心逆时针旋转（旋转过程中椭圆的大小形状不变，只是位置变化）到与椭圆重合，则旋转过程中椭圆与直线交于，两点，则的最大值为ABCD解：由运动的相对性，可把椭圆视为不动，直线绕原点旋转，原点到直线的距离为，设直线在旋转过程中的方程为，其中，联立直线与椭圆的方程得，由弦长公式得，令，故故选：8已知椭圆与双曲线，有相同的焦点，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是A4B6C8D16解：如图所示，设半焦距为点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，设，则，在中，由勾股定理可得：两边同除以，得，可得：令则，可知：时，函数取得极小值即最小值因此的最小值是8故选：9.已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于，两点，直线与椭圆交于点，分别为直线，的斜率则的取值范围是AB，CD，解：椭圆的焦点在轴上，右焦点，由在圆上，则，则，则，设，则设，则，且不等于0故选：10已知为坐标原点，

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