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1、1备战备战 2025 高考数学考前必备高考数学考前必备 1知识再现知识再现1集合(1)集合间的关系与运算ABABA;ABBBA.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n1,2n1,2n2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;若已知的集合是点集,用数形结合法求解;若已知的集合是抽象集合,用 Venn 图求解2全称量词命题、存在量词命题及其否定(1)全称量词命题:xM,p(x),它的否定为存在量词命题:xM,p(x)(2)存在量词命题:xM,p(x),其否定为全称量词命题:xM,p(
2、x)(3)命题与其否定真假相反3充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法:若 pq,则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件);若 pq,且 qp,则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件)(2)集合法:利用集合间的包含关系例如,命题 p:xA,命题 q:xB,若 AB,则 p 是 q 的充分条件(q 是 p 的必要条件);若 AB,则 p 是 q 的充分不必要条件(q 是 p 的必要不充分条件);若 AB,则 p 是 q的充要条件(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题4一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤:一化(将二次项系数化
3、为正数);二判(判断对应方程的符号);三解(解对应的一元二次方程);四写(大于取两边,小于取中间)解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑:(1)二次项系数,它决定二次函数的开口方向;(2)判别式,它决定根的情形,一般分0,0,0(a0)恒成立的条件是00a 2(2)ax2bxc0(0(0,b0),当且仅当 ab 时,等号成立基本不等式的变形:a2b22ab(a,bR),当且仅当 ab 时,等号成立;2()2abab(a,bR),当且仅当 ab 时,等号成立(2)在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件1复数的
4、相关概念及运算法则(1)复数 zabi(a,bR)的分类z 是实数b0;z 是虚数b0;z 是纯虚数a0 且 b0.(2)共轭复数复数 zabi(a,bR)的共轭复数zabi.(3)复数的模复数 zabi(a,bR)的模|z|a2b2.(4)复数相等的充要条件abicdiac 且 bd(a,b,c,dR)特别地,abi0a0 且 b0(a,bR)(5)复数的运算法则加减法:(abi)(cdi)(ac)(bd)i;乘法:(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i;3除法:(abi)(cdi)acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(其中 a,b,c,dR)2复数的几个常见结论(1)(1
5、i)22i.(2)11iii,11iii.(3)i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4ni4n1i4n2i4n30(nN)3平面向量基本定理如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数1,2,使 a1e12e2.若 e1,e2不共线,我们把e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底4向量 a 与 b 的夹角已知两个非零向量 a,b,O 是平面上的任意一点,作OAa,OBb,则AOB(0)叫做向量 a 与 b的夹角当0 时,a 与 b 同向;当时,a 与 b 反向如果 a 与 b 的夹角是2,我们说 a 与 b 垂直,记作 ab
6、.5平面向量的数量积(1)若 a,b 为非零向量,夹角为,则 ab|a|b|cos.(2)设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 abx1x2y1y2.6两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a(x1,y1),b(x2,y2),则(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.7利用数量积求长度(1)若 a(x,y),则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x2x12y2y12.8利用数量积求夹角设 a,b 为非零向量,若 a(x1,y1),b(x2,y2),为 a 与 b 的夹角,则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.9三角形“四心”向量形式的充要条件设 O 为ABC 所在平面上一点,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则:(1)O 为ABC 的外心|OA|OB|OC|a2sin A.(2)O 为ABC 的重心OAOBOC0.4(3)O 为ABC 的垂心OAOBOBOCOCOA.(4)O 为ABC 的内心aOAbOBcOC0.1终边相同角的表示所有与角终边相同的角,连同角
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