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1、1备战备战 2025 高考数学考前必备高考数学考前必备 1知识再现知识再现1集合(1)集合间的关系与运算ABABA；ABBBA.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n，2n1,2n1,2n2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解2全称量词命题、存在量词命题及其否定(1)全称量词命题：xM，p(x)，它的否定为存在量词命题：xM，p(x)(2)存在量词命题：xM，p(x)，其否定为全称量词命题：xM，p(

2、x)(3)命题与其否定真假相反3充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：若 pq，则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件)；若 pq，且 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件)(2)集合法：利用集合间的包含关系例如，命题 p：xA，命题 q：xB，若 AB，则 p 是 q 的充分条件(q 是 p 的必要条件)；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件(q 是 p 的必要不充分条件)；若 AB，则 p 是 q的充要条件(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题4一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化

3、为正数)；二判(判断对应方程的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二次函数的开口方向；(2)判别式，它决定根的情形，一般分0，0，0(a0)恒成立的条件是00a 2(2)ax2bxc0(0(0，b0)，当且仅当 ab 时，等号成立基本不等式的变形：a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时，等号成立；2()2abab(a，bR)，当且仅当 ab 时，等号成立(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件1复数的

4、相关概念及运算法则(1)复数 zabi(a，bR)的分类z 是实数b0；z 是虚数b0；z 是纯虚数a0 且 b0.(2)共轭复数复数 zabi(a，bR)的共轭复数zabi.(3)复数的模复数 zabi(a，bR)的模|z|a2b2.(4)复数相等的充要条件abicdiac 且 bd(a，b，c，dR)特别地，abi0a0 且 b0(a，bR)(5)复数的运算法则加减法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；3除法：(abi)(cdi)acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(其中 a，b，c，dR)2复数的几个常见结论(1)(1

5、i)22i.(2)11iii，11iii.(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30(nN)3平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2.若 e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底4向量 a 与 b 的夹角已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作OAa，OBb，则AOB(0)叫做向量 a 与 b的夹角当0 时，a 与 b 同向；当时，a 与 b 反向如果 a 与 b 的夹角是2，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab

6、.5平面向量的数量积(1)若 a，b 为非零向量，夹角为，则 ab|a|b|cos.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.6两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.7利用数量积求长度(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.8利用数量积求夹角设 a，b 为非零向量，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.9三角形“四心”向量形式的充要条件设 O 为ABC 所在平面上一点，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则：(1)O 为ABC 的外心|OA|OB|OC|a2sin A.(2)O 为ABC 的重心OAOBOC0.4(3)O 为ABC 的垂心OAOBOBOCOCOA.(4)O 为ABC 的内心aOAbOBcOC0.1终边相同角的表示所有与角终边相同的角，连同角

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