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1、函数与导数-山东各地市2025届高三数学一模模拟试题汇编13. （2025山东青岛一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则_.【答案】2【解析】【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，由题意分别表示出，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可.【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直，如图，可得的零点为1，故不妨设，则，当时，当时，则，所以，即因为：，即，：，即，则，因为，且，故.故答案为：2.14. （2025山东威海一模）已知函数，若，则的最小值为_.【答案】1【解析】令，则或.由可得；由，即（），可得.所以函数的零点为和.因为恒成立，所以

2、，即.将代入，可得.设（），对求导，可得.令，即，因为，所以，解得.当时，则，所以在上单调递减；当时，则，所以在上单调递增.所以在处取得极小值，也是最小值，即的最小值为.故答案为：111. （2025山东淄博一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 数列的前项和为D. 【答案】ABD【解析】【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D.【详解】设直线，联立，得，则由，即，解得（负值舍去），故A正确；可得，所以，故B正确；因为，则，故C错误；因为，所以，设

3、，则，可得在上单调递增，则时，又，则，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由，得出，进而判断各选项.7. （2025山东济宁一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意结合对称性可设，结合导数的几何意义求得，即可得结果.【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，且反比例函数的图象也关于直线对称，可知点关于直线对称，设，则，设，则，由题意可得：，解得或（舍去），可得，则，所以.故选：A.14.（2025山东济宁一模） ，若恒成立，则实数的取值范围是_【答案

4、】【解析】【分析】对不等式进行变形可得，构造函数，利用导数研究的单调性，进而可求的取值范围.【详解】在上恒成立当时，即解得，此时.令则，当时，在上单调递增，恒成立，恒成立，；时在上单调递减，在上单调递增，解得与矛盾，舍去；综上所述，的取值范围为故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用导数研究的单调性结合条件分类讨论可得.6. （2025山东菏泽一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（）A. B. 0C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可【详解】由，不妨设，两切线的斜

5、率分别为，当时，则有，此时，显然，因此不成立，不符合题意；当时，则有，此时，显然，因此不成立，不符合题意；当，则有，此时，变形得故选：A3. （2025山东聊城一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为，所以，曲线在处的切线方程为，该切线交轴于点，交轴于点，因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：D.7. （2025山东聊城一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，若是增函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导，根据判别式，结合二次函数的性质分类求解.【详解】要使奇函数是增函数，则需要在上单调递增，且，当时，恒成立，因为，此时的对称轴，所以只需即可，即.故选：B14. （2025山东烟台一模）已知正数满足，则的最小值为_：当取得最小值时，

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