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1、2025北京东城高三（上）期末数 学 2025.1本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（A） （B） （C） （D）（3）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则 （A） （B） （C） （D）（4）近年来，人工智能快速发展，AI算法

2、是人工智能的核心技术之一. 现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（本题取）（A）秒（B）秒（C）秒（D）秒（5）设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为（A），（B）， （C）， （D），（6）已知平面向量，为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）下列函数中，使既是奇函数又是增函数的是（A）（B）（C）（D）（8）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点.已知一个圆经过，三点，则该圆经过的整

3、点共有（A）个 （B）个 （C）个 （D）个（9）如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（A）（B）（C）（D）（10）已知.用表示中的最大值，设.若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（A） （B）（C） （D） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 5小题，每小题5分，共25分 （11）函数的定义域为 .（12）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）（13）写出一个焦点在轴上且离心率为的双曲线的标准方程： .（14）大衍数列来源于乾坤谱，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 大衍数列中，对于，数列，是公差为的

4、等差数列，且也是等差数列.已知，则_； 的前9项和等于 _. （15）已知非空数集,满足：（i），有；（ii），有；（iii ）且，有，则称是的“理想子集”. 给出下列四个结论：若,则是的“理想子集”；若是的“理想子集”，且存在非零实数，则；若，是的“理想子集”，则也是的“理想子集”；若，是的“理想子集”，则也是的“理想子集”.其中所有正确结论的序号是_三、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在ABC中，为钝角，（）求；（）若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求条件：；条件： ；条件：ABC的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，侧面与底面垂直，为正三角形，底面为菱形，分别为棱，的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值（18）（本小题13分）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组、中年组和老年组. 随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：青少年组中

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