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1、北京市朝阳区2024 2025学年度第一学期期末质量检测高三数学试卷 2025.1(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。(1)已知全集/=3-2W%W2|，集合4=田0彳1|,则C/=(A)-2,0)(B)-2,0)U(l,2(C)l,2(D)-2,0Ul,2(2)在复平面内，复数i(l+i)对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)已知抛物线C：y2=2px(p 0).若其焦点到准线的距离为4,则抛物线

2、C的焦点坐标为(A)(-2,0)(B)(l,0)(C)(2,0)(D)(4,0)(4)函数y=2sin+2)的图象的一个对称中心是0(A)(T，0)114(B)(-y,0)(C)墙,0)JL4(D)(f,0)(5)“mnl是“现0(A)(-2,-l)(B)(0,l)(C)(l,2)(D)(l,2(9)“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度 的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的!，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的右，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的净，第五根琴弦的长度是第四根 琴弦长度的争 琴弦越短，发出的声音音调越高,这五根琴弦发出的声音按

3、音调由低到 高分别称为“宫、商、角、徵、羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为(磷(B)|着(d)U(10)设4是无穷数列,若存在正整数A使得对任意nWN，均有册+2 sinfl tanfl成立的一个0的直(14)已知。为XABC所在平面内一点,满足前+属+咳为,且血|=2,OB=3,成I=4,设6为向量而，品的夹角,则cos0=-OB+OA-OC=.(15)在棱长为1的正方体455-431，中，点E在线段4 G上(不与A，G重合)，EF_LAC于尸，尸C _LBC于C,以下四个结论：9品_1平面EFG；缪段EF与线段FG的长度之和为定值；AEFC面积的最大值为线段EC长度的最小值为尊.其中

4、所有正确的结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)在4 BC 中，asin 2C=csin A.(I)求NC；(H)若c=夕，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在，求AABC的面积.条件:g+6=4；条件:sin B-sin A二;条件:cos A注:如果选择的条件不符合要求，第(H)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别 解答,按第一个解答计分.高三数学试卷第3页(共6页)也Lh目若史而必心（17）（本小题14分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活.在教育领域,AI的 赋能潜

5、力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了 200名教 师,对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：大模型的种数性别01234男427231610女648272415在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次 如下：AI大模型种类ABCD人次32303028用频率估计概率.（I）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的 概率；（II必型空傻劈变AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人,记使用B 的有X人，求X的分布列及其数学期望EX；（DI）从该地区男、女教师中各随机选一人,记他

6、们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种 数分别为匕Z,比较r,z的数学期望EV,EZ的大小.（结论不要求证明）(18)(本小题15分)如图，在五画体4 BC 0PQ 中，平面/IRC 0,/W_LC D,/lB/i CDPQ/CDD=CD=0尸=4,48=3,6分别为敬,”的中点,连接,“(氏(I)求证:AP_L平面DC S；(n)求直线CP与平面DCE所成角的正弦值；(HI)线段BC上是否存在点M,使得C P 平面DGM?若存 在，求给的值;若不存在，说明理由.(19)(本小题13分)已知函数/(工)=三Q0),其中71是常数 e(I)当=0时,求曲线y=幻在点(1J(D)处的切线方程;(11)求/(口的极值.(20)(本小题15分)_已知椭圆号q+4=1(a 6 0)的离心率为右顶点为(2,0).a b J(I)求椭圆E的方程；(D)过原点0且与y轴不重合的直线I与椭圆E交于M.N两点.已知点P(0.2),直 线PM,PN与椭圆E的另一个交点分另妫4 A证明:直线AB过定点.(21)(本小题15分)已知无穷数列I an|，给定正整数%若数列4满足以下两个性质，则称I 4 I为2蜘

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